一、完備事件組
設E是隨機試驗，Ω是相應的樣本空間，A1，A2，...，An為Ω的一個事件組，
若兩兩事件互斥且所有事件的并集為全集，則稱A1A2...An為樣本空間的一個完備事件組。
二、條件概率
設A,B是兩個事件，且P(B)>0,則在事件B發生的條件下，事件A發生的條件概率：
P(A|B)=P(AB)/P(B)
特例：事件A和事件B互斥，則條件概率為0.
三、全概率公式
全概率公式以加法公式和乘法公式為基礎。
全概率公式：通過已知每種"原因"發生的概率，求"結果"發生的概率，"原因"發生的概率稱為"先驗概率"，即"已知原因，分析結果"。
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + … + P(A|Bn)P(Bn)
間接求概率P(A)。
四、貝葉斯公式
貝葉斯公式以條件概率公式和全概率公式為基礎。
從已知"結果"發生的條件下分析各個"原因"引起的條件概率，這個條件概率稱為"后驗概率"，即"已知結果，分析原因"。
P(Bi|A) = P(A|Bi)P(Bi) / P(A)
五、舉例理解
我該怎么來理解這2個公式呢？打個比方，假設學校的獎學金都采取申請制度，只有滿足一定的條件你才能拿到這比獎學金。那么有哪些原因能夠使你有可能拿到獎學金呢？1、三好學生，拿到獎學金的概率是p(A1)=0.3。 2、四好學生，拿到獎學金的概率是p(A2)=0.4。3、五好學生，拿到獎學金的概率是p(A3)=0.5。4、六好學生，拿到獎學金的概率是p(A4)=0.6。這些學生只能是三好四好五好六好學生種的一種，不能跨種類。這個學校學生是三好學生的概率是p(B1)=0.4，四好學生的概率是p(B2)=0.3，五好學生的概率是p(B3)=0.2，六好學生的概率是p(B4)=0.1�，F在問題出來了，一個學生能夠拿到獎學金的概率是多少？
慢慢來分析，導致一個學生拿到獎學金的方式有哪些？這個學生是三好學生，剛好他又憑借三好學生的身份申請到了獎學金p1=p(A1)*p(B1|A1)=0.4*0.3=0.12；這個學生是四好學生，剛好憑借他四好學生的身份拿到了獎學金，p2=p(A2)*p(B2|A2)=0.3*0.4=0.12；這個學生是五好學生，剛好憑借他五好學生的身份拿到獎學金，p3=p(A3)*p(B3|A3)=0.2*0.5=0.10；這個學生是六好學生，剛好憑借他六好學生的身份拿到了獎學金，p4=p(A4)*p(B4|A4)=0.1*0.6=0.06。四種方式都能導致一個學生拿到獎學金，那么拿到獎學金的概率為p=p1+p2+p3+p4=0.4.所以這么理解全概率公式：導致一個事件發生的原因有很多種（各種原因互斥），那么這個事件發生的概率就是每種原因引起該事件發生的概率的總和。
一個學生已經拿到了獎學金，這個學生是三好學生的概率是多少？p=p1/(p1+p2+p3+p4)=0.3。怎么理解呢？一個事件已經發生了，有很多原因都能導致這個事件發生。那么其中的一種原因導致該事件發生的概率是多少？這就是貝葉斯概率公式解決的問題。就正如一本書現在已經被別人借走了（事件已經發生），已知只有可能是張三，李四，王五這3個人借走（事件發生的所有原因）。那么這本書被張三借走的概率會是多大呢？
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